对冲所使用期货的标的资产与被对冲的资产不一直时就会出现交叉对冲。比如没有航空燃油期货，航空公司会选择民用燃油期货来对冲。当期货标的资产与被对冲资产一样时，资产的风险敞口和期货合约的头寸数量保持一致，对冲比率为1.0，当采用交叉对冲时，对冲比率应当使被对冲后头存价格变化的方差达到极小。

符号说明

  • \( \Delta V \): 在对冲期限内，组合价格V的变化
  • \( R_V \): 对冲后资产的收益率
  • \( \Delta S \): 在对冲期限内，即期价格S的变化
  • \( \sigma_S \): 即期价格S变化的标准差
  • \( R_S \): 被对冲资产的收益率
  • \( \Delta F \): 在对冲期限内，期货价格F的变化
  • \( \sigma_F \): 期货价格F变化的标准差
  • \( R_F \): 期货的收益率
  • \( \rho \): \( \Delta S \) 与 \( \Delta F \)的相关系数
  • \( h \): 对冲比率
  • \( h^* \): 最小方差对冲比率
  • \( \epsilon \): 误差项

计算最小方差对冲比率

最小方差对冲比率本质上是即期价格变化与期货价格变化的线性相关系数，即

$$ \Delta S = a + h^* \cdot \Delta F + \epsilon $$

即对冲组合

$$ \Delta V = \Delta S - h \cdot \Delta F $$

可推导出最小方差对冲比率为

$$ h^* = \rho \frac{\sigma_S}{\sigma_F} $$

对冲比率的经济含义

  • 如果 \( \rho = 1 \) 和 \( \sigma_S = \sigma_F \)，即即期价格的变化与期货价格的变化完全正相关且波动相同，则\( h^* = 1 \)，完全对冲
  • 若期货波动更大，即 \( \sigma_F > \sigma_S \)，则需要减少对冲比率，降低风险

对冲效率

对冲效率衡量的是对冲策略在降低风险方面的有效程度，即对冲效率衡量的是方差的降低程度。而对冲比率直接决定了对冲后投资组合的方差。因此，可以通过计算方差缩减的百分比来得到对冲效率

$$ 对冲效率 = \frac {Var(R_V) - Var(R_S)} {Var(R_S)} $$

可推导出，当使用最小方差对冲比率时，对冲效率为 \( \rho^2 \)

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